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正方形是平行四边形吗(平行四边形一章知识点多)

2024-07-19 09:00:01

平行四边形一章是中考的必考内容,主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等。但由于本章的定义、定理较多,许多学生记忆有困难,用时易混淆,怎样才能学好本章呢?我认为应做好以下三方面。

一、弄清本章中平行四边形、矩形、菱形、正方形间的关系及其定义、性质和判定。

平行四边形、矩形、菱形、正方形都属于平行四边形,但又由于它们各自的特殊性,又分属于不同的图形。


构成这些图形的基本元素是边、角、对角线,所以在记忆它们的定义、性质、判定时应从这三方面入手,可利用自己对图形形状的认知加深记忆。

比如:对平行四边形的学习可与一般四边形作比较。

1、平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(根据边的特殊性给的定义)。

2、平行四边形性质:

①边:对边平行且相等。

②角:对角相等,邻角互补。

③对角线:对角线互相平分。

这些性质学生都可以通过观察图形得出,然后再利用全等三角形的知识加以证明即可。


3、平行四边形的判定方法。

边:①两组对边分别平行是平行四边形。

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形。

角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定也可通过与平行四边形的比较,从边、角、对角线三个方面去掌握。

二、掌握两个与三角形有关的性质定理。

1直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。

这两定理常用来求线段长度或证明线段间的关系。当题中有三角形的中点时,要想到利用这两定理得出线段间的关系。

例1:在△ABC中,点D、E、F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高,求证:

①四边形ADEF是平行四边形;

②∠DHF=∠DEF


证明:①∵D,E分别为AB,BC中点,

∴DE//AF,同理EF//AD

∴四边形ADEF为平行四边形。

②∵四边形ADEF为平行四边形

∴∠DEF=∠DAF=∠DAH+∠HAF

∵AH是BC边上的高,D为AB中点

∴DH=AD

∴∠DAH=∠DHA,同理∠HAF=∠AHF

∴∠DAH+∠HAF=∠DHA+∠AHF

即∠DAF=∠DHF又∵∠DAF=∠DEF

∴∠DHF=∠DEF

例2:如图,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC的内部,∠BOC=90°,OB=OC,D,E,F,G,分别是AB,OB,OC,AC的中点。

(1)求证:四边形DEFG是矩形。

(2)若DE=2,EF=3,求△ABC的面积。


分析:由D,G分别为AB,AC中点,可得DG//BC且DG=1/2BC,同理可得EF//BC且EF=1/2BC,从而得DG//EF,且DG=EF,从而得DEFG为平行四边形。

而要证DEFG为矩形,还需证明该四边形中有一个角为90°。因为AB=AC,OB=OC,可得AO垂直BC且平分BC,再利用平分线即可得出四边形中有一个角为90°。

在第2问中要求△ABC中必须求出底和高,所以需添加辅助线。

(1)证明:连接AO并延长交BC于点H。

∵AB=AC,OB=OC,

∴AH丄BC,且BH=CH

又∵D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点。

∴DG//EF//BC,DE//AH//GF

∴四边形DEFG为平行四边形

又∵EF//BC,AH丄BC

∴AH丄EF

又∵DE//AH

∴DE丄EF

∴四边形DEFG是矩形。

要证明四边形为矩形或菱形,一般先证明它是平行四边形,再根据角或边的特殊性证明它是矩形或菱形。

(2)解:∵D,E,F,分别是AB,OB,OC的中点

∴AO=2DE=2×2=4,BC=2EF=2×3=6

∵OH是等腰直角三角形OBC斜边上的高

∴OH=BH=1/2BC=1/2×6=3

∴AH=AO+OH=4+3=7

∴S△ABC=1/2×6×7=21

三、能运用转化的数学思想,解题方法一定要灵活。

例:如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,∠ABD=∠CBD,AB=CB,P是BD上一点,PE丄BC,PF丄CD,垂足分别为点E,F,求证PA=EF。


分析:由题中已知条件易得出四边形PECF为矩形,要证明PA=EF,一般利用三角形全等,但根据条件,无法证明这两线段所在的两三角形全等。所以需添加辅助线,进行转化。因为矩形的对角线相等,可连接PC,得PC=EF,只需证明PC=PA即可


证明:连接PC。

∵PE丄BC,PF丄CD

∴∠PEC=∠PFC=90°,又∵∠ECF=90°

∴四边形PECF为矩形

∴PC=EF

又∵在△ABP和△CBP中

AB=CB,∠ABP=∠CBP,BP=BP

∴在△ABP≌△CBP

∴PA=PC

∴PA=EF